Sistem Bilangan

MATERI POKOK :
Sistem Bilangan
·      Gambaran umum sistem bilangan
·      Sistem bilangan (Desimal, Biner, Octal dan Hexadecimal)
·      Konversi bilangan
·      Sistem bilangan Binary Code Decimal (BCD) dan Binary Code Hexadecimal (BCH)
·      ASCII Code

URAIAN MATERI

Sistem bilangan (number system) adalah  suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai  untuk mewakili suatu besaran nilai. Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal.

1.      Representasi Data

Data  adalah  bilangan  biner  atau  informasi  berkode  biner  lain  yang  dioperasikan untuk  mencapai  beberapa  hasil  penghitungan  penghitungan  aritmatik,  pemrosesan  data dan  operasi  logika,  representasi  data  Dinyatakan  dengan  sign,  bilangan  magnitude  dan posisi titik radiks. Titik radiks memisahkan bilangan bulat dan pecahan. Penggunaan  titik  radiks  berkaitan  dengan  jajaran  bilangan  yang  dapat  ditampung  oleh komputer.

Representasi Fixed-point : titik radiks selalu pada posisi tetap.

a = m x r e

r   = radiks, m = mantissa, e  = eksponen

Untuk menyatakan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil, dengan menggeser titik radiks dan  mengubah eksponen untuk mempertahankan nilainya.

Contoh:

a. Bilangan desimal:

    5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 +  5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2

                        = 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x0.1 + 8x0.01

b. Bilangan biner (radiks=2, digit={0, 1})

      101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510

2.  Representasi Bilangan Positif dan Negatif pada bilangan BINER

a.    Label tanda konvensional : + dan –

 Contoh : +4 dan -4

b.    Menggunakan posisi digit sebelah kiri (MSB)  sebagai  sign digit  (0  untuk positif dan 1 untuk negatif).

Contoh  : Sign-Magnitude +9 dalam 8 bit = 00001001  Sign-Magnitude –4 dalam 4 bit = 1100

                 Magnitude  dari  bilangan  positif  dan  negatif  sama  hanya  berbeda  pada  sign digitnya/MSB.

c.    Representasi Komplemen-1

Angka nol diubah menjadi satu dan satu menjadi nol.

Contoh :  Dalam 8 bit

+12 = 00001100

-12 = 11110011

d.  Representasi Komplemen-2

Dengan representasi komplemen-1 ditambah 1.

Contoh :  Dalam 8 bit

-12 = 11111011 (Komplemen-1)

1 +

   = 11111100 (Komplemen-2)

3.      Tipe Data

Tipe data dapat dibagi 4 (empat) yaitu :

a.      Data  Numerik  :  merepresentasikan  integer  dan  pecahan  fixed-point,  real floating-point dan desimal berkode biner.

b.      Data  Logikal  :  digunakan  oleh  operasi  logika  dan  untuk  menentukan  atau memriksa kondisi seperti yang dibutuhkan untuk instruksi bercabang kondisi.

c.      Data bit-tunggal : untuk operasi seperti SHIFT, CLEAR dan TEST.

d.     Data Alfanumerik :  data yang tidak hanya dikodekan dengan  bilangan tetapi juga dengan huruf dari alpabet dan karakter khusus lainnya

A.      Sistem Bilangan

Sistem  Bilangan  adalah  suatu  cara  untuk  mewakili  besaran  dari  suatu  item  fisik. Sistem  bilangan  menggunakan  basis  (base  /  radix)  tertentu  yang  tergantung  dari  jumlah bilangan yang digunakan. Konsep Dasar Sistem Bilangan adalah Suatu sistem bilangan, senantiasa mempunyai Base (radix), absolute digit dan positional (place) value.

Macam-Macam Sistem Bilangan

Suatu sistem komputer mengenal beberapa macam sistem bilangan, seperti :

Tabel 1. Macam sistem bilangan

Aplikasi Sistem Bilangan :

1.      Sistem Desimal à nilai mata uang : puluhan, ratusan, ribuan dll

2.      Sistem Biner à rangkaian elektronika digital

3.      Sistem Oktal à instruksi computer dengan kode 3-bit

4.      Sistem Hexadesimal à pengalamatan memory pada micro controller

1.      Sistem Bilangan Desimal

Bialangan desimal adalah bilangan yang menggunakan 10 angka mulai 0 sampai 9 berturut-turut. Setelah angka 9, maka angka berikutnya adalah 10, 11,  12  dan  seterusnya. Bilangan desimal disebut juga bilangan berbasis 10. Contoh penulisan  bilangan  desimal  : 1710. Ingat, desimal berbasis 10, maka angka 10‐lah yang menjadi subscript pada penulisan  bilangan desimal. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.

Integer desimal :

adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :

8 x 103      = 8000

5 x 102      =   500

9 x 101      =      90

8 x 100      =        8

                      8598

     

Absolue value merupakan nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan, sedangkan  position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.

Sehingga bilangan 8598 dapat diartikan :

(8x1000)+(5x100)+(9x10)+(8x1)

Pecahan desimal :

Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :

1 x 10 2     = 100

8 x 10 1     =  80

3 x 10 0     =    3

7 x 10 –1    =    0,7

5 x 10 –2    =    0,05

                       183,75

                   

2.        Bilangan Biner (Binary Numbering System)

Sistem  bilangan  biner  mempunyai  hanya  dua  macam  simbol  angka,  yaitu  0 dan  1,  dan  karena  itu  dasar  dari  sistem  bilangan  ini  adalah  dua. 

Bilangan biner  juga  disebut  bilangan  berbasis 2.  Setiap  bilangan  pada  bilangan  biner  disebut bit, dimana 1 byte = 8 bit.  Contoh penulisan : 1101112.

-    Notasi   : (n)2

-    Digit  biner  digunakan  untuk  menunjukan  dua  keadaan  level  tegangan: HIGH atau LOW.

-  Sebagian besar sistem digital level HIGH direpresentasikan oleh 1 atau ON dan level LOW direpresentasikan oleh 0 atau OFF.

-    Penulisan : 1102,112

3.        Bilangan Oktal

Bilangan  Oktal  mempunyai  delapan  macam  simbol  angka,  yaitu:  0,  1,  2,  3, 4,  5,  6,  7,  dan  karena  itu,  dasar  daripada  bilangan  ini  adalah  delapan.

-  Notasi  : (n)8

-  Penulisan : 458, 748

4.        Bilangan Heksadesimal

Bilangan heksadesimal,  atau  bilangan  heksa,  atau  bilangan  basis  16,  menggunakan  16 buah simbol, mulai dari 0 sampai 9, kemudian dilanjut dari A sampai  F.  Jadi,  angka  A sampai F merupakan simbol untuk 10 sampai 15. Contoh penulisan : C516.

Tabel 2. Bilangan Dengan Basis yang Berbeda

B.       Konversi Bilangan

Setiap angka pada suatu sistem bilangan dapat dikonversikan  (disamakan/diubah) ke  dalam  sistem  bilangan  yang  lain.  Secara umum  ekspresi  sistem  bilangan  basis–r mempunyai perkalian koefisien oleh pangkat dari r.

anrn + a n-1 r n-1 + … + a1r2 + a2r2 + a1r1 + a0r0 + a-1 r-1 + a-2 r-2 + …

Contoh.

Konversi bilangan n berbasisi r ke desimal

11010,112 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 +1.2-1 + 1.2-2

= 26,7510

4021,25 = 4.53 + 0.52 + 2.51 + 1.50 + 2.5-1

  =  511,410                     

1.        Konversi bilangan Desimal ke Biner

Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner :

Gunakan  pembagian dengan 2  secara  suksesif  sampai  sisanya  =  0. Sisa-sisa  pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi  least significant bit (LSB)  dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).

Contoh:

a.     Konersi 13210 ke biner :

133  /2 = 66 sisa 1 (LSB)

     /2 = 33 sisa 0

                  /2 = 16 sisa 1

     /2 = 8   sisa 0

     /2 = 4   sisa 0

                  /2 = 2   sisa 0

     /2 = 1   sisa 0

     /2 = 0   sisa 1 (MSB)

13310 = 100001012

LSB  MSB

b.      Konversi 24410 ke biner :

244  /2 = 122 sisa 0 (LSB)

                    /2 = 61 sisa 0

                    /2 = 30 sisa 1

                    /2 = 15 sisa 0

                    /2 = 7   sisa 1

                    /2 = 3   sisa 1

                    /2 = 1   sisa 1

                    /2 = 0   sisa 1 (MSB)

24410 = 111101002

LSB     MSB

2.      Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Untuk konversi bilangan decimal menjadi bilangan octal, caranya sama dengan konversi decimal ke biner yaitu dengan pembagian radiksnya. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.

Bilangan dari 1610 jika dirubah ke octal menjadi :

16  :  8  =  2        sisa 0             LSD

2    :  8  =  0        sisa 2             MSD

Jadi bilangan octal dari 1610 adalah 208.

Contoh soal :

Rubah bilangan dari bentuk decimal ke dalam bentuk bilangan octal :

a.       19210

b.      7810

Jawab :

a.       192 : 8 = 24     sisa 0

24 : 8 = 3         sisa 0

3 : 8 = 0           sisa 3

Jadi bilangan octal dari 19210 adalah 3008.

b.      78 : 8 = 9         sisa 6

9 : 8 = 1           sisa 1

1 : 8 = 0           sisa 1

Jadi bilangan octal dari 7810 adalah 1168.

3.      Konversi Bilangan Desimal ke Heksadesimal

Misalkan bilangan desimal yang ingin saya ubah adalah 24310. Untuk menghitung proses konversinya, caranya sama saja dengan proses konversi desimal ke biner, hanya saja kali ini angka pembaginya adalah 16. Maka :

243 : 16 = 15 sisa 3.

15 : 16 = 0 sisa F à ingat, 15 diganti jadi F

0 : 16 = 0 sisa 0….(end)

Nah, maka hasil konversinya adalah F316.

Contoh soal :

a          1.  22310

b          2.  18710

Jawab :

a        1.  223 : 16 = 13   sisa 15 à ingat, 13 diganti D

        15 : 16 = 0       sisa 15 à ingat, 15 diganti F

        0 : 16 = 0         sisa 0

        Jadi hasil konversi dari 22310 adalah DF16

b       2.  187 : 16 = 11   sisa 11 à ingat, 11 diganti B

       11 : 16 = 0       sisa 11 à ingat, 11 diganti B

       0 : 16 = 0         sisa 0

       Jadi konversi dari 18710 adalah BB16

4.      Konversi Bilangan Biner ke Desimal

Proses konversi bilangan biner ke bilangan desimal adalah proses perkalian setiap bit pada bilangan biner dengan perpangkatan 2, dimana perpangkatan 2 tersebut berurut dari kanan ke kiri bitbernilai 20 sampai 2n.

contoh bilangan yang merupakan hasil perhitungan di atas, yaitu 100001012. bilangan tersebut di baca posisinya mulai dari kanan ke kiri. Saatnya mengalikan setiap bit dengan perpangkatan 2. Ingat, perpangkatan 2 tersebut berurut mulai dari 20 sampai 2n, untuk setiap bit mulai dari kanan ke kiri. Maka :

100001012   =   (1 x 20) + (0 x 21) + (1 x 22) + (0 x 23) + (0 x 24) + (0 x 25) + (0 x 26) + (1 x 27)

                    =        1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0 + 128         

                    =   13310

5.      Konversi bilangan Biner ke Oktal

Untuk merubah bilangan biner ke bilangan oktal, perlu diperhatikan bahwa setiap bilangan oktal mewakili 3 bit dari bilangan biner. Maka jika kita memiliki bilangan biner 1101112 yang ingin dikonversi ke bilangan oktal, langkah pertama yang kita lakukan adalah memilah-milah bilangan biner tersebut, setiap bagian 3 bit, mulai dari kanan ke kiri, sehingga menjadi seperti berikut :

110  dan  111

                                                           6             7

setelah dilakukan proses pemilah-milahan seperti ini, dilakukan proses konversi ke desimal terlebih dahulu secara terpisah. 110 dikonversi menjadi 6, dan 111 dikonversi menjadi 7. Hasilnya kemudian digabungkan, menjadi 678, yang merupakan bilangan oktal dari 1101112.

Contoh lain :

Konversikan 111001012 kedalam bentuk bilangan oktal.

11       100      101

                                                      3         4          5

Jadi 111001012 = 3458

6.      Konversi Biner ke Heksadesimal

Sebagai contoh, misalnya merubah 111000102ke bentuk heksadesimal. Proses konversinya juga tidak begitu rumit, hanya tinggal memilahkan bit2 tersebut menjadi kelompok-kelompok 4 bit.

Pemilahan dimulai dari kanan kekiri, sehingga hasilnya sbb :

1110 dan 0010

Nah, coba lihat bit2 tersebut. Konversilah bit2 tersebut ke desimal terlebih dahulu satu persatu, sehingga didapat :

1110 = 14 dan 0010 = 2

14 dilambangkan dengan E16.

Dengan demikian, hasil konversinya adalah E216.

Bagaimana kalau bilangan binernya tidak berjumlah 8 bit. Contohnya 1101012. Caranya tambahkan saja 0 di depannya. Tidak akan memberi pengaruh terhadap hasilnya. Jadi setelah ditambah menjadi 001101012.

Hasilnya adalah

0011 = 3

0101 = 5

Dengan demikian hasil konversinya adalah 3516.

7.      Konversi Bilangan Oktal ke Biner

Sebaliknya untuk mengkonversi Bilangan Oktal ke Biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan oktal ke 3 digit bilangan biner.

Contoh Konversikan 2638 ke bilangan biner.

2         6        3

             010     110    011

Jadi 2638 = 0101100112,  karena 0 didepan tidak dituliskan maka hasilnya adalah 101100112.

Contoh lain :

4268 konversikan ke dalam bentuk biner.

4         2        6

100     010    110

Jadi 4268 = 1000101102

8.      Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

Uraikan masing-masing digit bilangan biner kedalam susunan radik 8 (kalikan saja setiap bilangan dengan perpangkatan 8).

Contoh, bilangan oktal yang dikonversi ke dalam bentuk desimal adalah 716. Maka susunannya menjadi demikian:

7168 = (6 x 80) + (1 x 81) + (7 x 82)

        =  6  +  8  +  448

        =  46210

9.      Konversi Bilangan Oktal ke Heksadesimal

Untuk konversi oktal ke heksadesimal, kita akan membutuhkan perantara, yaitu bilangan biner. Maksudnya adalah kita konversi terlebih dahulu oktalcar ke biner,  lalu  konversikan nilai  biner  tersebut  ke  nilai  heksadesimalnya.  Nah,  baik  yang  konversi  oktal  ke  biner maupun biner ke heksadesimal kan udah dijelaskan. Coba buktikan, bahwa bilangan oktal 728 jika dikonversi ke heksadesimal menjadi 3A16.

Caranya :

728 à        7          2

               111      010

Hasilnya adalah 0011        1010

                 

                              3            10     

10 dituliskan A16

Jadi hasil konversi dari 728 adalah 3A16.

10.  Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner

Dalam proses konversi heksadesimal ke biner, setiap simbol dalam heksadesimal mewakili 4 bit dari biner. Misalnya proses konversi bilangan heksa B716 ke bilangan biner. Maka setiap simbol di bilangan heksa tersebut dikonversi terpisah ke biner. Ingat, B16 merupakan simbol untuk angka heksadesimal 1116. Nah,  heksadesimal 1116 jika dikonversi ke biner menjadi 10112, sedangkan heksadesimal 716 jika dikonversi ke biner menjadi 01112. Maka bilangan binernya adalah 101101112,

atau kalau dibuat ilustrasinya seperti berikut ini :

B 7 à bentuk heksa

11 7 à bentuk desimal

1011 0111 à bentuk biner

Hasilnya disatukan, sehingga menjadi 101101112

11.  Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal

Untuk proses konversi ini, caranya sama saja dengan proses konversi biner ke desimal, hanya saja kali ini perpangkatan yang digunakan adalah perpangkatan 16, bukan perpangkatan 2. Sebagai contoh, konversi bilangan heksa C816 ke bilangan desimal. Maka terlebih dahulu ubah susunan bilangan heksa tersebut, mulai dari kanan ke kiri, sehingga menjadi sebagai berikut :

C8(16) = (12x161) + (8x160)

         = 192 + 8

         = 200(10)

Contoh lain : 7D(16)

7D(16) = (7x161) + (13x160)

         = 112 + 13

         = 125(10)

12.  Konversi Bilangan Heksadesimal ke Oktal

Nah, sama seperti konversi oktal ke heksadesimal, kita membutuhkan bantuan bilangan biner. Lakukan terlebih dahulu konversi heksadesimal ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke oktal. Sebagai latihan, buktikan bahwa nilai heksadesimal E716 jika dikonversi ke oktal menjadi 3478.

Caranya :

Cara 1

Konversikan Hexa à Desimal                        Desimal à Oktal

E7(16) = (14x161) + (7x160)                                     231 : 8    à sisa 7

         = 224 + 7                                                       28 : 8     à  sisa 4

         = 231(10)                                                         3

Hasil :

E7(16) = 347(8)

Cara 2

Konversikan Hexa à Biner                          Biner à Oktal

E7(16) à    E             7                                          011 | 100 | 111

             1 1 1 0  |  0 1 1 1                                       3      4      7

Jadi hasilnya :

E7(16) = 347(8) 

C.    Bentuk Bilangan Dalam Code Form

Mengkonversi bilangan yang berharga besar, memerlukan hitungan yang cukup melelahkan. Melalui bilangan dalam Code Form maka pekerjaan konversi bilangan

dapat dipermudah dan dipercepat. Di bawah ini adalah Code Form dalam bilangan

Desimal, Bilangan Oktal dan bilangan Heksadesimal yang sering dipergunakan.

1.      Sistem Bilangan Binary Code Decimal (BCD)

Bilangan desimal pada setiap tempat dapat terdiri dari 10 bilangan yang berbeda-beda. Untuk bilangan biner bentuk dari 10 elemen yang berbeda beda memerlukan 4 bit. Sebuah BCD mempunyai 4 bit biner untuk setiap tempat bilangan desimal. Kode ini digunakan untuk meng-outputkan hasil digital ke peralatan yang men-displaykan bilangan numeric (0-9), seperti : jam digital, voltmeter digital.

Ada 5 jenis kode BCD :

Contoh 1 :

Z(10) = 317

3          1          7          Desimal

        0011    0001    0111        Biner Code Desimal

Dalam contoh ini BCD terdiri dari 3 kelompok bilangan masing-masing terdiri dari 4 bit, dan jika bilangan desimal tersebut di atas dikonversi ke dalam bilangan biner secara langsung adalah 317(10)= 100111101(2) dan hanya memerlukan 9 bit. Untuk contoh proses sebaliknya dapat dilihat di bawah ini.

Contoh :

Biner Code Desimal                0101 0001 0111 0000

Desimal                                      5       1       7       0

Jadi bentuk BCD di atas adalah bilangan Z(10)= 5170.

Contoh 2 :

a.       710 = ………. BCD(8421) ?

710 = (8x0) + (4x1) + (2x1) + (1x1)

710 = 0111BCD(8421)

b.      1810 = ………BCD(5421) ?

1810 = (5x0) + (4x0) + (2x0) + (1x1)       (5x1) + (4x0) + (2x1) + (1x1)

       = 0001  1011BCD(5421)

c.       4810 = ………BCD(2421) ?

= (2x0) + (4x1) + (2x0) + (1x0)      (2x1) + (4x1) + (2x1) + (1x0)

= 0100  1110BCD(2421)

Dari ke-tiga jenis kode BCD dengan bobot, yang paling banyak digunakan adalah kode 8421.

Kode Excess – 3

Kode ini memiliki kelebihan nilai 3 dari digit asalnya.

Contoh :

010 disimpan sebagai (0+3) = 0011Excess-3

Nilai tertinggi untuk BCD Excess-3 adalah (9+3) = 1100Excess-3

Kode 2 of 5

Kode ini memiliki 2 nilai bit “1” dari 5 bit yang tersedia. Penempatan bit “1” dimulai dari MSB, sedang bit “1” untuk digit berikutnya mengikuti posisi di sebelahnya.

Contoh :

210 disimpan sebagai 100102 of 5

Table 3 Rangkaian Kode BCD

2.      Binary Code Hexadecimal (BCH)

Bilangan heksadesimal dalam setiap tempatdapat terdiri dari 16 bilangan yang

berbeda-beda ( angka dan huruf ). Bentuk biner untuk 16 elemen memerlukan 4 bit. Sebuah BCH mempunyai 4 bit biner untuk setiap tempat bilangan heksadesimal.

Contoh

Z(16) = 31AF

Bilangan Heksadesimal           3          1          A         F

Biner Code Heksadesimal   0011   0001    1010   1111

Untuk proses sebaliknya, setiap 4 bit dikonversi ke dalam bilangan heksadesimal.

Contoh :

Biner Code Heksadesimal      1010   0110   0001   1000

Bilangan Heksadesimal              A         6         1          8

Jadi bentuk BCH diatas adalah bilangan Z(16)= A618.

D.    ASCII Code à American Standard Code For Information Interchange

Dalam bidang mikrokomputer ASCII-Code mempunyai arti yang sangat khusus, yaitu untuk mengkodekan karakter (Huruf, Angka dan tanda baca yang lainnya). Code-code ini merupakan code standard yang dipakai oleh sebagian besar sistem mikrokomputer. Selain huruf, angka dan tanda baca yang lainada 32 (mis ACK, NAK dsb.) merupakan kontrol untuk keperluan transportasi data. ASCII Code terdiri dari 7 bit biner à 27 = 128 kombinasi kode 7 bit à3 bit MSB dan 4 bit LSB.

Di bawah ini adalah tabel 7 bit ASCII Code beserta beberapa penjelasan yang diperlukan.

Tabel Kode ASCII